Question

購買某種汽車的費用為15萬元，每年應(yīng)交保險費、養(yǎng)路費及汽油費合計為1萬2千元．汽車的年平均維修費如下：第一年3千元，第二年6千元，第三年9千元，依次成等差數(shù)列逐年遞增，這種汽車使用多少年報廢最合算（即使用多少年的年平均費用最少）？

Answer 1

分析：確定汽車每年維修費構(gòu)成以0.3萬元為首項，0.3萬元為公差的等差數(shù)列，從而可求汽車的年平均費用，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)使用x年平均費用最少，由于“年維修費用第一年是0.3萬元，以后逐年遞增0.3萬元”，可知汽車每年維修費構(gòu)成以0.3萬元為首項，0.3萬元為公差的等差數(shù)列，因此汽車使用x年總維修費用為

x(0.3+0.3x)

2

萬元，
設(shè)汽車的年平均費用為y萬元，則有y=

15+1.2x+ x(0.3+0.3x) 2

x

=1.35+

15

x

+

0.3x

2

≥1.35+2

15 x • 0.3x 2

=4.35萬元，當(dāng)且僅當(dāng)

15

x

=

0.3x

2

，即x=10或-10（舍去）時，取等號，
所以當(dāng)使用10年時年平均費用y最小，即這種汽車使用10年報廢最合算．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．