Question

(14分)如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，，是棱的中點．高.考.資.源.網

（Ⅰ）證明：平面；高.考.資.源.網

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．高.考.資.源.網

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中，平面．

∴，∵， 

∴平面．

∵平面，

∴，而∥，則

在與中，，

∴∽ , ∴…………………………4分

∴, 即

∵， ∴平面…………………………6分

（Ⅱ）如圖，設，過作的垂線，垂足為，連．

∵平面，∴，∴平面，∴為二面角的平面角． 在中，，，

∴，∴ ；

在中，，，∴，

∴ …………………………12分

∴在中，，

故銳二面角的余弦值為．

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……………14分

解法二（1）∵，∴

∵，∴平面   

以為坐標原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系。  ……2分

易求點，，，

  ，， ……………4分

（1），，

，,∴，，

即，,∵，∴平面   …7分

（Ⅱ）設是平面的法向量；由得

，取，則是平面的一個法向量，…10分

又是平面的一個法向量.………………12分

    

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為     14分