Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），若函數f（x）在區間[-1，0]上是單調減函數，則a²+b²的最小值為

9

5

．

Answer 1

分析：由函數在區間[-1，0]上是單調遞減，得到導函數小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一個不等式組，可以把而a²+b²可視為平面區域

3-2a+b≤0 b≤0

內的點到原點的距離的平方，則由點到直線的距離公式求出即可得到最小值；

解答：解：（1）依題意，f′（x）=3x²+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要

f′(-1)≤0 f′(0)≤0

即可，也即

3-2a+b≤0 b≤0

，而a²+b²可視為平面區域

3-2a+b≤0 b≤0

內的點到原點的距離的平方，
由點到直線的距離公式得d²=（

3

5

）²=

9

5

，
∴a²+b²的最小值為

9

5

．
故答案為：

9

5

．

點評：考查學生利用導數研究函數的單調性的能力，理解點到直線的距離公式，理解二元一次不等式組與平面區域的關系．