Question

實數集A滿足條件：若a∈A，則

1

1-a

∈A（a≠1）．
求證：①若2∈A，則A中必還有另外兩個元素；
②集合A不可能是單元素集．

Answer 1

分析：①根據集合的互異性進行求解，注意條件2∈A，把2代入進行驗證；
②可以假設A為單元素集合，求出其等價條件，從而進行判斷；

解答：證明：①若a∈A，則

1

1-a

∈A．
又∵2∈A，
∴

1

1-2

=-1∈A
∵-1∈A，∴

1

1-(-1)

=

1

2

∈A．
∵

1

2

∈A，∴

1

1- 1 2

=2∈A．
∴A中另外兩個元素為-1，

1

2

②若A為單元素集，則a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，方程無解．
∴a≠

1

1-a

，
∴A不可能為單元素集．

點評：此題主要考查集合與元素之間的關系，注意集合內元素的互異性，是一道基礎題．