Question

已知函數f（x）=ax³-3x²，a≠0．
（Ⅰ）對a≠0討論求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數g（x）=e^xf（x）在[0，2]上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax³-3x²（a≠0）⇒f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），分a＞0與a＜0討論，通過f′（x）的符號即可求得函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）依題意，可求得g′（x）=xe^x[ax²+（3a-3）x-6]，令h（x）=ax²+（3a-3）x-6，依題意，通過對a的符號的討論，解

h(0)≤0 h(2)≤0

即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-3x²，a≠0，
∴f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∴當a＞0時，
由f′（x）＞0得：x＞

2

a

或x＜0，
由f′（x）＜0得：0＜x＜

2

a

；
當a＜0時，由f′（x）＞0得：

2

a

＜x＜0，
由f′（x）＜0得：x＜

2

a

或x＞0；
∴當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（

2

a

，+∞）；函數f（x）的單調遞減區間為（0，

2

a

）；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為（

2

a

，0），函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，

2

a

），（0，+∞）；
（Ⅱ）∵g（x）=e^xf（x）=e^x（ax³-3x²），
∴g′（x）=e^x（ax³-3x²）+e^x（3ax²-6x）=xe^x[ax²+（3a-3）x-6]，
令h（x）=ax²+（3a-3）x-6，
∵g（x）=e^x（ax³-3x²）在[0，2]上單調遞減，
∴當a＞0時，

h(0)≤0 h(2)≤0

解得0＜a≤

6

5

；
當a＜0時，由

h(0)≤0 h(2)≤0

解得a＜0；
∴實數a的取值范圍是（-∞，0）∪（0，

6

5

]．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，突出考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合運用，屬于難題．