Question

已知函數f（x）滿足f（x）=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

3

)為f（x）在點x=

2

3

處的導數，c為常數）．若函數f（x）的極小值小于0，則c的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：求出f（x）的導函數，令x=

2

3

得到關于f′（

2

3

）的方程，解方程求出f′（

2

3

）的值．再將f′（

2

3

）的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，根據表求出函數f（x）的單調區間，進而得出函數的極小值，最后建立關于C的不等關系求解即可．

解答：解：由f（x）=x³+f′（

2

3

）x²-x+c，
得f′（x）=3x²+2f′（

2

3

）x-1．
取x=

2

3

，得f′（

2

3

）=3×（

2

3

）²+2f′（

2

3

）×（

2

3

）-1，
解之，得f′（

2

3

）=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+c．
從而f′（x）=3x²-2x-1=3（x+

1

3

）（x-1），列表如下：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；f（x）的單調遞減區間是（-

1

3

，1）．
∴函數f（x）的極小值為f（1）=-1+c，由題意得-1+c＜0，
∴c＜1．
則c的取值范圍是 （-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評：求函數的單調區間及函數的極值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的變化情況表來解決；求函數在某區間函數單調性已知的問題，一般轉化為導函數大于等于或小于等于0恒成立問題．