Question

f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，若x∈[

1

2

，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

[-2，0]

．

Answer 1

分析：因為偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，根據(jù)已知中f（x）是偶函數(shù)，，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，易得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，又由若x∈[

1

2

，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，結合函數(shù)恒成立的條件，求出x∈[

1

2

，1]時f（x-2）的最小值，從而可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)
當x∈[

1

2

，1]時，x-2∈[-

3

2

，-1]
故f（x-2）≥f（1）
若x∈[

1

2

，1]時，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
則當x∈[

1

2

，1]時，|ax+1|≤1恒成立
解得-2≤a≤0
故答案為[-2，0]

點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合，其中根據(jù)已知條件結合偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相反，證得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，進而給出x∈[

1

2

，1]時f（x-2）的最小值，是解答本題的關鍵．