Question

已知頂點在原點O，準線方程是y=-1的拋物線與過點M（0，1）的直線交于A，B兩點，若直線OA和直線OB的斜率之和為1。
（Ⅰ）求此拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求直線的方程；
（Ⅲ ）求直線與拋物線相交弦AB的弦長。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知拋物線焦點在y軸正半軸，
設拋物線的標準方程為，
由準線方程是y=-1，可得p=2，
所以拋物線的標準方程為。
（Ⅱ）設直線的方程為：y=kx+1，
代入拋物線的標準方程，消y整理得，
設，，
則，                                         ①
因為，，代入①，
得，                              ②
因為，，代入②得k=1，
所以直線的方程為：y=x+1。
（Ⅲ）將直線方程與拋物線的標準方程聯立得：，
消y整理得，
因為，，
∴。