Question

如圖，由y=0，x=8，y=x²圍成了曲邊三角形OAB，M為曲線弧OB上一點，
設M點的橫坐標為x₀，過M作y=x²的切線PQ
（1）求PQ所在直線的方程（用x₀表示）；
（2）當PQ與OA，AB圍成的三角形PQA面積最大時，求x₀．

Answer 1

分析：（1）求出函數y=x²在M處的導數值，即切線PQ的斜率，利用點斜式寫出直線PQ的方程．
（2）對于直線PQ的方程分別令y=0，x=8得到直線PQ與x軸的交點坐標及與直線x=8的交點坐標，利用兩點距離公式求出三角形的兩條直角邊，利用三角形的面積表示出面積，對面積函數求導數，令導數等于0，判斷出根左右兩邊的導函數符號，求出最大值．

解答：解：（1）f′（x₀）=2x₀    M（x₀，x₀²）
∴PQ的方程2x₀x-y-x₀²=0
（2）PQ的方程中，令y=0，x=

x0

2

∴P(

x0

2

，0)
∴|AP|=8-

x0

2

PQ的方程中，令x=8，則y=16x₀-x₀²
∴|AQ|=16x₀-x₀²
．令S_△PQA=u
∴u′=

3

4

x02-16x0+64
∴x0=

16

3

，x0=16(舍)
∵(0，

16

3

)是函數的增區(

16

3

，8)是函數的減區
∴x0=

16

3

時面積最大

點評：解決曲線的切線斜率問題，一般利用函數在切點處的導數值為切線的斜率；解決實際問題中的函數的最值問題，一般利用導數求出函數的極值即函數的最值．