Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分． 

已知數列是首項，公比的等比數列，設，常數，數列．  

（1）求證：是等差數列；   

（2）若是遞減數列，求t的最小值； 

（3）是否存在正整數k，使重新排列后成等比數列？若存在，求k，t的值；若不

存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，，……………………………………………………1分

因為， 

∴數列是首項為，公差的等差數列．……………………………4分

  （2）由（1）知，，，

恒成立，即恒成立，……………7分

因為是遞減函數，

所以，當n=1時取最大值，，…………………………………9分

因而，因為，所以．………………………………………………………10分

   （3）記，，

，．

①若是等比中項，則由得化簡得，解得或（舍），……………………………………11分

所以，因而……………………………………………………………13分

及．…………………………………………………………………………………14分

②若是等比中項，則由得化簡得

，顯然不成立．………………………………………………………16分

③若是等比中項，則由得化簡得，因為不是完全不方數，因而，x的值是無理數，顯然不成立．…………………………………18分