Question

某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔，如圖所示，塔及所在的山崖可視為圖中的豎線OC，塔高BC?80（米），山高OB?220（米），OA?200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=

1

2

．試問，此人距山崖的水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大（不計此人的身高）？

Answer 1

分析：先建立直角坐標(biāo)系，則依題意可知A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線l的方程．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）進(jìn)而可求直線PC和PB的斜率，直線PC到直線PB的角的公式可得到tanBPC關(guān)于x的表達(dá)式tanBPC=

64

x+ 160×640 x -288

，要使tanBPC達(dá)到最大，只須x+

160×640

x

-288達(dá)到最小．再由均值不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)x=

160×640

x

時上式取等號．故當(dāng)x=320時tanBPC最大．進(jìn)而得出此時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得到答案．

解答：解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（200，0），B（0，220），C（0，300）．
直線l的方程為y=（x-200）tanα，即y=

x-200

2

．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則P(x，

x-200

2

)（x＞200）
由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式kPC=

x-200 2 -300

x

=

x-800

2x

，kPB=

x-200 2 -220

x

=

x-640

2x

．
由直線PC到直線PB的角的公式得
tan∠BPC=

kPB-kPC

1+kPBkPC

=

160 2x

1+ x-800 2x • x-640 2x

=

64x

x2-288x+160×640

=

64

x+ 160×640 x -288

（x＞200）
要使tanBPC達(dá)到最大，只須x+

160×640

x

-288達(dá)到最小．
由均值不等式x+

160×640

x

-288≥2

160×640

-288．
當(dāng)且僅當(dāng)x=

160×640

x

時上式取等號．故當(dāng)x=320時tanBPC最大．
這時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為y=

320-200

2

=60．
由此實(shí)際問題知，0＜∠BPC＜

π

2

，
所以tanBPC最大時，∠BPC最大．
故當(dāng)此人距水平地面60米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大．

點(diǎn)評：本題主要考查解三角形的實(shí)際運(yùn)用．有些問題需要建立直角坐標(biāo)系，利用解析幾何的方法來解決．