Question

已知圓內有一點，過點作直線交圓于兩點.

(1)當弦被點平分時，寫出直線的方程；

(2)是否存在直線把圓周分為兩段弧, 若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)  (2) 直線,或

解析:

（1）解：設直線，又因為弦被點平分，易知存在。

故有，，………………….4分

所以直線，即：直線…………….6分

（2）法一 垂徑定理

若直線把圓的周長分為，則可得：圓心角，

所以可設設直線，即

因為，△為等腰直角三角形，………………..8分

圓心到的距離為

由點到直線的距離公式得 …………………….10分

     ，

或   ，…………………………………..12分

 故直線,或……………….14分

法二：（利用韋達定理 ）

若直線把圓的周長分為，則可得：圓心角，所以可設設直線，聯立圓的方程: 得: …………….2分

 又過圓內的點,故直線與圓必相交,

且有: …….(*      )..................4分

由弦長公式,…………..8分

將（*）式代人弦長公式可得：  ，…………………..10分

或   ， ………………………………………….12分

故直線,或…………………………..14分