Question

下列四個命題：①在區間[0，1]內任取兩個實數x，y，則事件“x²+y²＞1恒成立”的概率是1-

π

4

； ②從200個元素中抽取20個樣本，若采用系統抽樣的方法則應分為10組，每組抽取2個； ③函數f（x）關于（3，0）點對稱，滿足f（6+x）=f（6-x），且當x∈[0，3]時函數為增函數，則f（x）在[6，9]上為減函數； ④滿足A=30°，BC=1，AB=

3

的△ABC有兩解．其中正確命題的個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件對應的集合是Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1}，滿足條件的事件對應的集合是A={（x，y）|-1＜x＜1，-1＜y＜1，x²+y²＞1}，做出兩個集合對應的圖形的面積，根據幾何概型概率公式得到結果．②根據系統抽樣的定義，可知此命題是假命題；③根據函數f（x）關于（3，0）點對稱，且當x∈[0，3]時函數為增函數，以及中心對稱圖象的單調性的性質可知函數f（x）在區間（3，6）是增函數，由f（6+x）=f（6-x），可知函數f（x）的圖象關于直線x=6對稱，根據軸對稱圖形的單調性的特征可知結論；④利用余弦定理解方程

3+AC2-1

2× 3 ×AC

=

3

2

，即可求得結果．

解答：解：①由題意知本題是一個幾何概型，
試驗發生包含的事件對應的集合是Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，
它的面積是1×1=1，
滿足條件的事件對應的集合是A={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x²+y²＞1}
集合A對應的圖形的面積是邊長為1的正方形內部，且圓的外部，面積是1-

π

4

∴根據幾何概型的概率公式得到P=1-

π

4

，故正確；
②從200個元素中抽取20個樣本，間隔為10，而不是分成10組，故錯；
③∵函數f（x）關于（3，0）點對稱，且當x∈[0，3]時函數為增函數，
∴函數f（x）在區間（3，6）是增函數，
∵f（6+x）=f（6-x），
∴函數f（x）的圖象關于直線x=6對稱，
故f（x）在[6，9]上為減函數；該命題正確；
④由余弦定理可知cosA=

3+AC2-1

2× 3 ×AC

=

3

2

，
整理得AC²-3AC+2=0，求得AC=1或2，因此△ABC有兩解，故正確，
故選C．

點評：此種題型往往比較綜合考查多個知識點的概念，處理的關鍵是熟練掌握各個知識點的概念、定義．同時考查了學生的思維轉換和運算能力，屬中檔題．