Question

有下列說法：
①S_n是數列{a_n}的前n項和，若S_n=n²+n+1，則數列{a_n}是等差數列；
②若a＞b且

1

a

＞

1

b

，則a＞0且b＜0；
③已知函數f（x）=x²-ax-2a，若存在x∈[-1，1]，使f（x）≥0成立，則a＜1；
④在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對邊，若acosA=bcosB，則△ABC為等腰直角三角形．
其中正確的有

②

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：對于①，利用數列前項n和與通項的關系，計算出前3項，得到它們不成等差數列，從而數列{a_n}不是等差數列，故①不正確；對于②，可以利用不等式的基本性質加以變形，化簡整理得到a為正數且b為負數，故②正確；對于③，根據不等式有實數解，計算函數f（x）在區間[-1，1]上的最大值大于或等于0，得到a≤1，故③不正確；對于④，利用正弦定理進行化簡，再結合二倍角的正弦公式，得到△ABC為等腰或直角三角形，故④不正確．

解答：解：對于①，根據S_n=n²+n+1，得S₁=3，S₂=7，S₃=13，
從而a₁=S₁=3，，a₂=S₂-S₁=7-3=4，a₃=S₃-S₂=13-7=6
因為前3項不成等差數列，所以數列{a_n}不是等差數列，故不①正確；
對于②，∵

1

a

＞

1

b

，
∴

1

a

-

1

b

=

b-a

ab

＞0
又∵a＞b⇒b-a＜0
∴ab＜0⇒a、b一正一負
因為a＞b，所以a為正數，而b為負數，故②正確；
對于③，已知函數f（x）=x²-ax-2a，若存在x∈[-1，1]，使f（x）≥0成立，
說明函數在區間[-1，1]上的最大值大于或等于0，
因為函數圖象是開口向上的拋物線，所有有：f（-1）≥0或f（1）≥0，
解之得a≤1，故③不正確；
對于④，在△ABC中，若acosA=bcosB，根據正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B⇒2A=2B或2A+2B=180°⇒A=B或A+B=90°
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形，故④不正確．
故答案為：②

點評：本題借助于判斷命題的真假為載體，著重考查了不等式的基本性質、二次函數的性質、三角形的形狀判斷和等差數列的判定等知識點，屬于中檔題，也是一道綜合題．