Question

（2013•汕頭二模）已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象與y軸交于(0，3

2

)，它在y右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（m，6）和(m+

π

2

，-6)．
（1）求函數f（x）的解析式及m的值；
（2）若銳角θ滿足tanθ=2

2

，求f（θ）．

Answer 1

分析：（1）由圖象的最高點的縱坐標求A，由周期求ω，把點(0，3

2

)代入函數的解析式求得φ，從而求得函數解析式，再根據函數在y右側的第一個最高點的坐標
為（m，6），可得2m+

π

4

=

π

2

，由此解得 m的值．
（2）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinθ 和cosθ 的值，再利用兩角和差正弦公式、二倍角公式求得f（θ）=6sin（2θ+

π

4

） 的值．

解答：解：（1）由函數的圖象在y右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（m，6）和(m+

π

2

，-6)，可得A=6，

1

2

•T=

1

2

•

2π

ω

=（m+

π

2

）-m=

π

2

，求得ω=2．
把點(0，3

2

)代入函數的解析式可得 6sin（2×0+φ）=3

2

，解得sinφ=

2

2

，再由|φ|＜

π

2

，求得φ=

π

4

．
故f（x）=6sin（2x+

π

4

）．
函數在y右側的第一個最高點的坐標分別為（m，6），故2m+

π

4

=

π

2

，解得 m=

π

8

．
（2）若銳角θ滿足tanθ=2

2

，θ∈（0，

π

2

），∴sinθ=

2 2

3

，cosθ=

1

3

．
f（θ）=6sin（2θ+

π

4

 ）=6sin2θ•cos

π

4

+6cos2θ•sin

π

4

=6

2

sinθcosθ+3

2

（2cos²θ-1）
=6

2

×

2 2

3

×

1

3

+3

2

（2×

1

9

-1）=

8-7 2

3

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，兩角和差正弦公式、二倍角公式、同角三角函數的基本關系，求函數的值，屬于中檔題．