Question

【題目】設A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】（0，1]∪[9，+∞）

【解析】

分焦點在軸上兩種情況進行討論,再根據臨界條件點在橢圓的短軸端點上,進而求解的臨界值,進而求得取值范圍即可.

假設橢圓的焦點在x軸上,則0＜m＜3時,

假設M位于短軸的端點時,∠AMB取最大值,要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,

解得：0＜m≤1；

當橢圓的焦點在y軸上時,m＞3,

假設M位于短軸的端點時,∠AMB取最大值,要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：m≥9,

∴m的取值范圍是（0,1]∪[9,+∞）

故答案為：