Question

設數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，（n∈N⁺），其前n項和為S_n，且

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n

=

S

2 n

（1）求a_n+1與S_n之間的關系，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令Tn=

1

a1 a   2

+

1

a2 a   3

+…+

1

an a   n+1

，求證：

n

i=1

[(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

]＜2(

2

-1)．．

Answer 1

分析：（1）利用

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n

=

S

2 n

，可得

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

，兩式相減，即可求得an+12-an+1=2Sn，再寫一式，兩式相減，即可證得數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，可得Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1)

=

n

n+1

，從而可證(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

=(

1

Ti

-

1

Ti+1

)

Ti

Ti+1

＜2(

1

Ti

-

1

Ti+1

)，即可得出結論．

解答：解：（1）由已知得，當n=1時，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
∵

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n

=

S

2 n

①，

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

+…+

a

3 n+1

=

S

2 n+1

②
②-①an+13=

S

2 n+1

-Sn2
∵a_n+1＞0，∴Sn+1+Sn=an+12
∴an+1+2Sn=an+12
∴an+12-an+1=2Sn①
當n≥2時，an2-an=2Sn-1②
①-②（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（2）∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1)

=

n

n+1

∵

Ti

Ti+1

=

i(i+2)

(i+1)2

＜1，∴(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

=(

1

Ti

-

1

Ti+1

)

Ti

Ti+1

＜2(

1

Ti

-

1

Ti+1

)
∴

n

i=1

[(1-

Ti

Ti+1

)

1

Ti+1

]＜2(

1

T1

-

1

Tn+1

)=2(

2

-

n+2 n+1

)＜2(

2

-1)

點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題，考查裂項法求和，考查放縮法的運用．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項與前n項和的知識．