Question

已知cosB=cosθ·sinA,cosC=sinθsinA.求證:sin²A+sin²B+sin²C=2.

Answer 1

剖析:本題為條件恒等式的證明，要從條件與要證的結論之間的聯系入手，將結論中的sin²B、sin²C都統一成角A的三角函數.

證法一:sin²A+sin²B+sin²C=sin²A+［1-(cosθsinA)²］+［1-(sinθsinA)²］

    =sin²A+1-cos²θsin²A+1-sin²θsin²A

    =sin²A(1-sin²θ)+1-cos²θsin²A+1

    =sin²Acos²θ-sin²Acos²θ+2

    =2.

    ∴原式成立.

證法二:由已知式可得

    cosθ=，sinθ=.

    平方相加得cos²B+cos²Ｃ=sin²A

    +=sin²A

    cos2B+cos2Ｃ=2sin²A-2.

    1-2sin²B+1-2sin²C=2sin²A-2,

    ∴sin²A+sin²B+sin²C=2.