Question

已知：二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c同時滿足條件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數(shù)恒成立．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）數(shù)列{a_n}，{b_n}，若對任意n均存在一個函數(shù)g_n（x），使得對任意的非零實數(shù)x都滿足g_n（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，（n∈N*），求：數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件得．由恒成立，由此能求出f（x）的表達(dá)式．
（2）f（1）=0，f（2）=0，因為g（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹恒成立，令x=1得a_n+b_n=1，令x=2得2a_n+b_n=2ⁿ⁺¹，由此能求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式．
解答：解：（1）由條件得．…（4分）
由恒成立，
∴，
整理，得，
解得a=1．…（6分）
∴f（x）=x²-3x+2…（8分）
（2）∵f（1）=0，f（2）=0，
又因為g（x）•f（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹恒成立，
令x=1，得a_n+b_n=1，…（10分）
令x=2，得2a_n+b_n=2ⁿ⁺¹…（12分）
∴a_n=2ⁿ⁺¹-1，
b_n=2-2ⁿ⁺¹．…（14分）．
點評：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法和數(shù)列通項公式的計算．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法的靈活運用．