Question

已知函數f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）若f（a）=

3

5

，2α是第一象限角，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（I）利用兩角差的余弦公式，二倍角公式化簡函數f（x）=sin（2x-

π

6

 ），由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出
函數f（x）的減區間．
（II）根據sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，2kπ-

π

6

＜2a-

π

6

＜2kπ+

π

3

，k∈z，利用同角三角函數的基本關系 求出cos（2a-

π

6

 ）
的值，由sin2a=sin[（2a-

π

6

 ）+

π

6

]，利用兩角和的正弦公式求得結果．

解答：解：（I）因為函數f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x=

1

2

 cos2x+

3

2

sin2x-cos2x 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

 ），∴當 2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
 即 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

  時，函數 f（x）遞減．
故，所求函數f（x）的減區間為[kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

]，k∈z．
（II）因為2a是第一象限角，且 sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，所以，2kπ-

π

6

＜2a-

π

6

＜2kπ+

π

3

，k∈z．
由 f（a）=sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，得cos（2a-

π

6

 ）=

4

5

．所以，sin2a=sin[（2a-

π

6

 ）+

π

6

]=

3 3 +4

10

．

點評：本題考查三角函數性質及簡單的三角變換，要求學生能正確運用三角函數的概念和公式對已知的三角函數進行化簡求值．