Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線的方程；
（2）從圓C外一點P（x₁，y₁）向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）圓的方程化為標準方程，求出圓心與半徑，再分類討論，設出切線方程，利用直線是切線建立方程，即可得出結論；
（2）先確定P的軌跡方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答：解：（1）由方程x²+y²+2x-4y+3=0知（x+1）²+（y-2）²=2，所以圓心為（-1，2），半徑為

2

．
當切線過原點時，設切線方程為y=kx，則

|k+2|

k2+1

=

2

，所以k=2±

6

，即切線方程為y=（2±

6

）x．
當切線不過原點時，設切線方程為x+y=a，則

|-1+2-a|

2

=

2

，所以a=-1或a=3，即切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0．
綜上知，切線方程為y=（2±

6

）x或x+y+1=0或x+y-3=0；
（2）因為|PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
當直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時，即直線PO的方程為2x+y=0時，|PM|最小，
此時P點即為兩直線的交點，得P點坐標（-

3

10

，

3

5

）．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．