Question

從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加．

(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業總收入為b_n萬元，寫出a_n、b_n的表達式；

(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以n年內的總投入為 　　an＝800＋800×(1－)＋…＋800×(1－)n－1＝800×(1－)k－1 　　＝4000×[1－()n]． 　　第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1＋)，…，第n年旅游業收入為400×(1＋)n－1萬元．所以n年內的旅游業總收入為 　　bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)k－1＝400×()k－1． 　　＝1600×[()n－1]． 　　(2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即 　　1600×[()n－1]－4000×[1－()n]＞0，令x＝()n，代入上式得5x2－7x＋2＞0．解此不等式，得x＜或x＞1(舍去)， 　　即()n＜，由此得n≥5． 　　所以至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入． 　　思路解析：第一問an、bn實際上是兩個數列的前n項和，注意不要與“通項”混淆；第二問是既解一元二次不等式又解指數不等式，注意不要出現偏差．