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設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離是2.
(Ⅰ)求此拋物線方程;
(Ⅱ)設點A,B在此拋物線上,點F為此拋物線的焦點,且,若λ∈[4,9],求直線AB在y軸上截距的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)根據焦點到準線的距離求得p,則拋物線方程可得.
(Ⅱ)設出直線AB的方程與拋物線方程聯立消去y,設A(x1,y1),B(x1,y1)根據韋達定理可表示出x1+x2和x1•x2,根據,進而求得x22•x1,進而根據x1•x2=1,消去x2,求得x1和x2,代入x1+x2中,求得λ和k的關系式,根據在[4,9]上遞增,進而求得y的范圍進而求得k的范圍,進而求得直線在x軸上的截距的范圍可得.
解答:解:(Ⅰ)因為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離p=2
所以此拋物線方程為y2=4x
(Ⅱ)由題意,直線AB的斜率存在.F(1,0),設直線AB的方程為y=k(x-1)
消y,整理得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0
△=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,
設A(x1,y1),B(x1,y1)則,x1•x2=1
因為,所以(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1),于是
由y2=-λy1,得y222y12⇒4x22•4x1⇒x22•x1
又x1•x2=1,
消x2得λ2•x12=1,
因為x1>0,所以,從而,x2=λ.
代入得,

因為在[4,9]上遞增,
所以,即
于是,,或
所以直線AB在y軸上截距的取值范圍為:
點評:本題主要考查了拋物線的標準方程,直線與拋物線的關系,向量的計算等.考查了學生運用所學知識靈活解決問題的能力.
練習冊系列答案
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設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,A為C上一點,已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點,若△BDF為等邊三角形,△ABD的面積為6,則p的值為
3
3
,圓F的方程為
(x-
3
2
)2+y2=12
(x-
3
2
)2+y2=12

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(2013•寶山區一模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點.
(1)若p=2,求線段AF中點M的軌跡方程;
(2)若直線AB的方向向量為
n
=(1,2)
,當焦點為F(
1
2
,0)
時,求△OAB的面積;
(3)若M是拋物線C準線上的點,求證:直線MA、MF、MB的斜率成等差數列.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•長寧區二模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1,P2兩點,已知|P1P2|=8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點M(3,0)作方向向量為
d
=(1,a)
的直線與曲線C相交于A,B兩點,求△FAB的面積S(a)并求其值域;
(3)設m>0,過點M(m,0)作直線與曲線C相交于A,B兩點,問是否存在實數m使∠AFB為鈍角?若存在,請求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設拋物線C:y2=3px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•黃浦區二模)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,經過點F的動直線l交拋物線C于點A(x1,y1),B(x2,y2)且y1y2=-4.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若
OE
=2(
OA
+
OB
)
(O為坐標原點),且點E在拋物線C上,求直線l傾斜角;
(3)若點M是拋物線C的準線上的一點,直線MF,MA,MB的斜率分別為k0,k1,k2.求證:當k0為定值時,k1+k2也為定值.

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