Question

已知圓C：x²+(y-1)²=5，直線l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)l與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求此時(shí)直線l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）證明：圓的圓心為C（0，1），半徑為， ∴圓心C到直線l：mx-y+1-m=0的距離， ∴直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
（Ⅱ）解：當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則CM⊥MP， ∴， 設(shè)，則， 化簡得：， 當(dāng)M與P重合時(shí)，x=1，y=1也滿足上式； 故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是。
（Ⅲ）解：設(shè)，由，得， ∴，化簡得，① 又由消去y得，，（*） ∴，   ② 由①②解得：， 帶入（*）式解得：m=±1， ∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0。