Question

設不在y軸負半軸的動點P到F（0，1）的距離比到x軸的距離大1．
（1）求P的軌跡M的方程；
（2）過F作一條直線l交軌跡M于A、B兩點，過A，B做切線交于N點，再過A、B作y=-1的垂線，垂足為C，D，若S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN，求此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點P的坐標為（x，y），由|PF|=|y|+1，知，由此能求出P的軌跡M的方程．
（2）設直線l的方程為為y=kx+1，由，知x²-4kx-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，由x²=4y，知過A的切線方程y-=（x-x₁），同理過B的切線方程為：y-=（x-x₂），由此能求出S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN時點N的坐標．
解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），
∵|PF|=|y|+1，
∴，
整理，得x²=4y，
∴P的軌跡M的方程是x²=4y．
（2）由題意知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為為y=kx+1，
∵，
∴x²-4kx-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，
∵x²=4y，∴y′=，
∴，=，
∴過A的切線方程y-=（x-x₁），
同理過B的切線方程為：y-=（x-x₂）…（6分）
設N點坐標為（a，b），
則x₁，x₂是方程x²-2ax+4b=0的兩根，
∴x₁+x₂=2a=4k，x₁•x₂=-4，
∴b=-1．…（8分）
由（1）知x₁+x₂=4k，所以N為線段CD的中點，
取線段AB的中點E，
∵F是拋物線的焦點，
∴AF=AC，BF=BD，∴AC+BD=AB，
∴S_△ANB=S_△ANE+S_△BNE
=
=，
∵，
，
∴S_△ACN+S_△ANB=2S_△BDN，
∴2BF=AF+AB…（11分）
即2（x₂-0）=（0-x₁）+（x₂-x₁），
所以x₂-2x₁=2x₂，x₂=-2x₁，
∴，
當時，x₂=-2，a=-，
當時，x₂=2，a=，
∴所求點N的坐標為．…（13分）
點評：本題考查拋物線方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．