Question

求下列定積分：
（1）

∫

π 2 0

（2sinx+cosx）dx 
（2）

∫

2 0

|x²-1|dx．

Answer 1

分析：（1）由和的積分等于積分的和展開，然后求出被積函數的原函數，直接由微積分基本定理得答案；
（2）把積分區間分段，取絕對值，然后求出被積函數的原函數，再由微積分基本定理得答案．

解答：解：（1）

∫

π 2 0

（2sinx+cosx）dx
=

2∫

π 2 0

sinxdx

+∫

π 2 0

cosxdx
=-2cos

x|

π 2 0

+sin

x|

π 2 0

=-2（0-1）+（1-0）=3；
（2）∵y=|x²-1|=

x2-1    1≤x≤2 1-x2    0≤x≤1

，
∴

∫

2 0

|x²-1|dx=

∫

1 0

(1-x2)dx

+∫

2 1

(x2-1)dx
=(x-

x3

3

)|

1 0

+(

x3

3

-x

)|

2 1

=（1-

1

3

）+（

8

3

-2）-（

1

3

-1）
=2．

點評：本題考查了定積分，考查了微積分基本定理，是基礎的計算題．