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平面內與兩定點、連線的斜率之積等于非零常數的點的軌跡，加上、兩點所成的曲線可以是圓、橢圓或雙曲線。求曲線的方程，并討論的形狀與值的關系。

【解析】本試題主要考查了平面中動點的軌跡方程，利用斜率之積為定值可以對參數進行分類討論，并得到關于不同曲線的參數的范圍問題。對于方程的特點做了很好的考查和運用。

【答案】

解：設動點為，其坐標為，

當時，由條件可得，即.又、的坐標滿足，

故依題意，曲線的方程為.

當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；

當時，曲線的方程為，是圓點在原點的圓；

當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；

當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的雙曲線.

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（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C₁；對給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C₂，設F₁、F₂是C₂的兩個焦點．試問：在C₁上，是否存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請說明理由．

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（I）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系．
（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C₁；對給定的m∈（-∞，-1），對應的曲線為C₂，若曲線C₁的斜率為1的切線與曲線C₂相交于A，B兩點，且

•

=2（O為坐標原點），求曲線C₂的方程．

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