Question

已知a＞0且a≠1,設P:函數y=log_a(x+1)在x∈(0,+∞)內單調遞減;Q:曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點,如果P和Q有且只有一個正確,求a的取值范圍.

Answer 1

解:當0＜a＜1時,函數y=log_a(x+1)在(0,+∞)內單調遞減;當a＞1時,y=log_a(x+1)在(0,+∞)內不是單調遞減.曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同兩點等價于(2a-3)²-4＞0,即a＜或a＞.

(1)若P正確,且Q不正確,即函數y=log_a(x+1)在(0,+∞)內單調遞減,曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸不交于兩點,

此時a∈［,1).

(2)若P不正確,且Q正確,即函數y=log_a(x+1)在(0,+∞)內不是單調遞減,曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同兩點,

此時a∈(,+∞).

綜上所述,a的取值范圍是［,1)∪(,+∞).