Question

在以O為原點的直角坐標系中，點A(4，－3)為△OAB的直角頂點，已知|AB|＝2|OA|，且點B的縱坐標大于零．

(1)求向量的坐標；

(2)求圓x²－6x＋y²＋2y＝0關于直線OB對稱的圓的方程；

(3)是否存在實效a，使拋物線y＝ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設＝(u，v)，則由 　　即 　　解得或 　　因為＝＋＝(u＋4，v－3)，所以v－3＞0，得v＝8． 　　故＝(6，8)． 　　(2)由＝(10，5)，得B(10，5)，于是直線OB方程為y＝x． 　　由條件可知圓的標準方程為 　　(x－3)2＋(y＋1)2＝10． 　　∴圓心為(3，－1)，半徑為． 　　設圓心(3，－1)關于直線OB的對稱點為(x，y)，則 　　解得 　　故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10． 　　(3)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則 　　得 　　即x1，x2為方程x2＋x＋＝0的兩個相異實根， 　　于是由Δ＝－4·＞0，得a＞． 　　故當a＞時，拋物線y＝ax2－1上總有關于直線OB對稱的兩點．