Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若當(dāng)x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求

b-5

a-2

的取值范圍；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率；
（3）若對(duì)于任意的正整數(shù)k，當(dāng)x=

55…5

k個(gè)5

時(shí)，都有f(x)=

55…5

2k個(gè)5

成立，則稱(chēng)這樣f（x）是K₂函數(shù)，現(xiàn)有函數(shù)g(x)=

14

5

x2+(a+2)x+b-f(x)，試判斷g（x）是不是K₂函數(shù)？并給予證明．?

Answer 1

分析：（1）據(jù)f（x）≤0恒成立，由有

f(-1)≤0 f(1)≤0

得到

a-b+1≤0 a+b+1≤0

，再觀察

b-5

a-2

的結(jié)構(gòu)形式，可用線(xiàn)性規(guī)劃解決；
（2）據(jù)a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，可知這是一個(gè)幾何概型中的面積類(lèi)型，總面積是直線(xiàn)a=±1，b=±1圍成的區(qū)域面積，當(dāng)f（x）有零點(diǎn)時(shí)，則判斷式大于零，得到a²≥4b，滿(mǎn)足條件為

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

，可用定積分求得有零點(diǎn)時(shí)的面積，從而求得有零  點(diǎn)時(shí)的概率，再用對(duì)立事件求得無(wú)零點(diǎn)時(shí)的概率；
（3）g（x）是K₂函數(shù)，按照定義證明即可．

解答：解：（1）據(jù)題意：

f(-1)≤0 f(1)≤0

∴

a-b+1≤0 a+b+1≤0

可行域如圖

b-5

a-2

的幾何意義是定點(diǎn)P（2，5）到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)Q（a，b）連線(xiàn)的斜率k，

b-5

a-2

的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）當(dāng)f（x）有零點(diǎn)時(shí)，a²≥4b，滿(mǎn)足條件為

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

由拋物線(xiàn)的下方與a=±1，b=-1圍成的區(qū)域面積，S1=

∫

1 -1

(

1

4

a2+1)da=(

1

12

a3+a)

|

1 -1

=

13

6

，
由直線(xiàn)a=±1，b=±1圍成的區(qū)域面積S₂=4，
故f（x）有零點(diǎn)的概率P=

S1

S2

=

13

24

，∴f（x）無(wú)零點(diǎn)的概率為

.

P

=1-P=

11

24

；
（3）g（x）是K₂函數(shù)，
證明：g(x)=

9

5

x2+2x符合條件，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

555

k個(gè)5

=5(1+10+100++10k-1)=

5

9

(10k-1)，
同理：

555

2k個(gè)5

=

5

9

(102k-1)；g(

555

k個(gè)5

)=g(

5

9

(10k-1))=

9

5

[

5

9

(10k-1)]2+2×

5

9

(10k-1)
=

5

9

(10k-1)2+2×

5

9

(10k-1)=

5

9

(10k-1)(10k+1)=

5

9

(102k-1)=

555

2k個(gè)5

，
所以，g(x)=

9

5

x2+2x符合條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃，（1）關(guān)鍵是確定約束條件和目標(biāo)函數(shù)類(lèi)型；（2）是結(jié)合概率來(lái)考查所圍成的平面圖形的面積；（3）是情境題，這樣題的解決要嚴(yán)格執(zhí)行給定的定義，結(jié)合已有的知識(shí)解決．