Question

15、求證：不論a，b為何實數，直線（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0均通過一定點，并求此定點坐標．

Answer 1

分析：不論a，b為何實數，直線（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0均通過一定點，說明直線是直線系，可以按a、b集項，等式恒成立，a、b的系數同時為零，可求出x、y的值，即定點坐標．

解答：證明：把a、b當作未知數，原方程即變為：（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0
顯然若使a、b的系數同時為0時，則不論a，b為何實數，等式恒成立！
此時：2x+y+1=0且x+y-1=0
解得x=-2；y=3 即直線位于點（-2，3）時，a、b的系數同時為0，不論a，b為何實數，等式恒成立！
∴直線（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0恒通過定點（-2，3）．
故直線過定點，定點坐標為：（-2，3）．

點評：直線過定點問題，一般都是直線系問題，方法有按字母未知數集項，等式恒成立；或者未知數賦值法，解方程組得到定點．