Question

6．已知定義域為（-1，1），函數f（x）=-x³+3x且f（a-3）+f（9-a²）＜0，則a的取值范圍是（3，$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 先判斷函數f（x）的奇偶性、單調性，然后把f（a-3）+f（9-a²）＜0轉化為關于自變量的值間的大小關系，解不等式即可，要注意函數定義域．

解答 解：因為f（-x）=-（-x）³+（-3x）=x³-x=-f（x），所以f（x）為奇函數，
又f（x）=-x³+3x單調遞增，
所以f（a-3）+f（9-a²）＜0，可化為f（a-3）＜-f（9-a²）=f（a²-9），
所以有$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜{a}^{2}-9}\\{-1＜a-3＜1}\\{-1＜{a}^{2}-9＜1}\end{array}\right.$，解得3＜a＜$\sqrt{10}$
故答案為：（3，$\sqrt{10}$）．

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性以及不等式的求解，解決本題的關鍵是利用函數f（x）的性質把不等式中的符號“f”去掉，變成關于自變量值間的關系．