Question

若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對一切x＞0，滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）請舉出一個符合條件的函數(shù)f（x）；
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+5）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0；
（2）函數(shù)f（x）=log₂x就是一個符合條件的函數(shù)；
（3）f（6）=1，依題意知，f（36）=2，f（x+5）-f（

1

x

）＜2?f（（x+5）x）＜f（36），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，解相應(yīng)的不等式組即可．

解答：解：（1）令x=y=1，
∴f（1）=f（1）-f（1）
∴f（1）=0；
（2）函數(shù)f（x）=log₂x就是一個符合條件的函數(shù)，
∵log2(

x

y

)=log₂x-log₂y，
滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（3）∵f（6）=1，
∴2f（6）=f（36）=2，
∵f（x+5）-f（

1

x

）＜2，
∴f（（x+5）x）＜2，
∴f（（x+5）x）＜f（36），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴（x+5）x＜36，
∴x∈（-9，4），又x+5＞0，

1

x

＞0，
∴x∈（0，4）即為所求．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．