Question

如圖，F是橢圓(a>b>0)的一個焦點，A,B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F三點確定的圓M恰好與直線l₁：相切．

   （Ⅰ）求橢圓的方程：

   （Ⅱ）過點A的直線l₂與圓M交于PQ兩點，且，求直線l₂的方程．

Answer 1

解析：(1)F(－c，0)，B(0,)，∵k_BF=，k_BC=－，C(3c，0)

且圓M的方程為(x－c)²+y²=4c²，圓M與直線l₁：x+y+3=0相切，

∴ ，解得c=1，

∴所求的橢圓方程為                    6分

(2) 點A的坐標為(－2，0)，圓M的方程為(x－1)²+y²=4，

  過點A斜率不存在的直線與圓不相交，設直線l₂的方程為y=k(x+2)，

∵，又，∴cos< >=

∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l₂的距離d=，所以，∴k=

所求直線的方程為x±2+2=0．             14分