Question

設向量=（x+1，y），=（y，x-1），（x，y∈R）滿足||+||=2，已知定點A（1，0），動點P（x，y）
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過原點O作直線l交軌跡C于兩點M，N，若，試求△MAN的面積．
（3）過原點O作直線l與直線x=2交于D點，過點A作OD的垂線與以OD為直徑的圓交于點G，H（不妨設點G在直線OD上方），試判斷線段OG的長度是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由||+||=2，知，由此能求出動點P（x，y）的軌跡C的方程．
（2）點A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個焦點，連接BM，BN，由橢圓的對稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形，所以∠AMB=π-∠MAN=，設MA=r₁，MB=r₂，由橢圓定義知r₁²+r₂²+2r₁r₂=8．在△AMB中，由余弦定理知，所以，由此得=．
（3）設動點D（2，y），則以OD為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y）=0，直線GA：2x+yy-2=0，由此得G的軌跡方程是x²+y²=2，從而得到OG=（定值）．
解答：解：（1）∵=（x+1，y），=（y，x-1），（x，y∈R）滿足||+||=2，
∴，
∴動點P（x，y）的軌跡C的方程是以（±1，0）為焦點，以長軸長為2，短軸長為2的橢圓，
∴動點P（x，y）的軌跡C的方程為．
（2）∵點A（1，0）和B（-1，0）為C的兩個焦點，連接BM，BN，
由橢圓的對稱性可知四邊形AMBN是平行四邊形，
∴∠AMB=π-∠MAN=，
設MA=r₁，MB=r₂，
由橢圓定義知，即r₁²+r₂²+2r₁r₂=8，
在△AMB中，由余弦定理知，
兩式作差，得，
∴=．
（3）設動點D（2，y），
則以OD為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-y）=0，①
直線GA：2x+yy-2=0，②
由①②聯立消去y得G的軌跡方程是x²+y²=2，
∴OG=（定值）
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用圓錐曲線的性質進行等價轉化．