Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x

（a＞0）在（2，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，因?yàn)楹瘮?shù)在（2，+∞）上遞增，設(shè)2＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0在（2，+∞）恒成立，從而確定出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

x2+a

x

（a＞0）在（2，+∞）上遞增，
∴設(shè)2＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +a

x1

-

x 2 2 +a

x2

=（x₁-x₂）+a

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-a

x1x2

＜0在（2，+∞）恒成立，
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
（x₁-x₂）

x1x2-a

x1x2

＜0在（2，+∞）恒成立轉(zhuǎn)化為，當(dāng)2＜x₁＜x₂時，x₁x₂＞a恒成立，
∵x₁x₂＞4，
∴0＜a≤4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為0＜a≤4．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，一般運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，而本題是單調(diào)性定義的逆向應(yīng)用，通過函數(shù)的單調(diào)性的定義，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的恒成立問題．屬于基礎(chǔ)題．