Question

設(shè)x∈R，則f（x）=coscosx與g（x）=sinsinx的大小關(guān)系（　　）

A．f（x）＜g（x）

B．f（x）≤g（x）

C．f（x）＞g（x）

D．f（x）≥g（x）

Answer 1

分析：利用f（x）、g（x）都是周期函數(shù)，且最小正周期都為2π，f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)可將考慮的范圍縮小，利用誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答：解：∵f（x）=coscosx，g（x）=sinsinx，
∴f（x）、g（x）都是周期函數(shù)，且最小正周期都為2π．
又f（-x）=coscos（-x）=coscosx，g（-x）=sinsin（-x）=sin（-sinx）=-sinsinx=-g（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，
又當(dāng)x∈[-π，0]時，f（x）＞0，g（x）≤0恒成立，此時，f（x）＞g（x）．
∴只需考慮x∈[0，π]的情形．
∵sinsinx=cos（

π

2

-sinx），

π

2

-sinx和cosx同屬于余弦函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，（即

π

2

-sinx，cosx∈[0，π]），
∴只需比較

π

2

-sinx與cosx的大小即可．
事實上，

π

2

-sinx-cosx=

π

2

-

2

sin（x+

π

4

）≥

π

2

-

2

＞0，
又余弦函數(shù)在[0，π]上單調(diào)遞減，
∴sinsinx＜coscosx．也即g（x）＜f（x）．
綜上所述，當(dāng)x∈[-π，π]時，f（x）＞g（x），又f（x）、g（x）都是以2π為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）＞g（x），
故選：C．

點評：本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查誘導(dǎo)公式與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．