Question

已知向量. 

（Ⅰ）若方程上有兩實根，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）設實數m、n、r滿足：m、n、r中的某一個數恰好等于a，且另兩個恰為方程 的兩實根，判斷①m+n+r，②m²+n²+r²，③m³+n³+r³是否為定值？若是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數，并求的最小值；

（Ⅲ）給定函數，若對任意的，總存在，使得，求實數b的取值范圍

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知： 

∵方程上有兩實根

∴  

由①得：

由②得：a<1

由3得：

從而

（Ⅱ）∵有實根，∴ 

不妨令m=a，則n，r是的兩根，

從而n+r=3－a，nr=a²－3a

故m+n+r=3，

m²+n²+r²=a²+（3－a）²－2（a²－3a）=9

=

∴  

故

令  

從而在為增函數

在（0，2）上為減函數

∴a=2為極小值點，  ∴

∴

（Ⅲ）當

由題意知[15，27] 

∴