Question

8、已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點（如圖）求證MNPQ是一個矩形．

Answer 1

分析：先證MN∥QP，MQ∥NP，推出MNPQ是平行四邊，再證MQ⊥QP，就是MNPQ是矩形．

解答：證明：連接AC，在△ABC中，
∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC
在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，
∴QP∥AC，∴MN∥QP
同理，連接BD可證MQ∥NP
∴MNPQ是平行四邊
取AC的中點K，連BK，DK
∵AB=BC，∴BK⊥AC，
∵AD=DC，∴DK⊥AC．
因此平面BKD與AC垂直
∵BD在平面BKD內，∴BD⊥AC
∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角
故MNPQ是矩形．

點評：本題考查棱錐的結構特征，直線與平面垂直的判定，考查邏輯思維能力，是中檔題．