Question

已知二次函數g（x）對?x∈R都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1且g（1）=-1，設函數f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表達式；
（2）若?x∈R₊，使f（x）≤0成立，求實數g（x）=-x³+2x²+mx+5的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數g（x）對?x∈R都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，設出g（x），根據等式的性質，可以求出a、c的值；
（2）由（1）求出的函數g（x），代入函數f（x）=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

，進行化簡，再利用導數研究函數的最值，要使f（x）≤0成立，轉化為f（x）的最小值小于0即可，從而求出m的范圍；

解答：解：（1）設出g（x）=ax²+bx+c，于是
g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以

a= 1 2 c=-1

由g（1）=-1，則b=-

1

2

，
所以g（x）=

1

2

x²-

1

2

x-1，
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x²+mlnx（m∈R，x＞0），
當m＞0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R，
當m=0時，f（x）=

x2

2

＞0對?x＞0，f（x）＞0恒成立，
當m＜0時，由f′（x）=x+

m

x

=0⇒x=

-m

，
列表：

x	（0， -m ）	-m	（ -m ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

這時f（x）_min=f（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

，
f（x）_min≤0，?

- m 2 +mln -m ≤0 m＜0

，
可得m≤-e，
綜上，?x＞0使f（x）≤0成立，實數m的取值范圍（-∞，-e]∪（0，+∞）；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，以及函數的轉化思想，導數是我們研究函數的單調性，是一道中檔題，這類題是高考的熱點問題；