Question

已知函數f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（1）若a=0，求函數f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若函數f（x）在[

1

2

，2]上存在單調遞增區間，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域為（0，+∞），求導函數，確定f（x）在[1，e]上單調遞增，從而可求函數f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）求導函數，則在區間[

1

2

，2]上存在子區間使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立，可轉化為2a＜2x+

1

x

在[

1

2

，2]上有解，求出右邊函數的最大值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）定義域為（0，+∞），
∵f′(x)=

1

x

+2x＞0，…（3分），
∴f（x）在[1，e]上單調遞增，…（5分）
∴當x=1時，f（x）_min=f（1）=1…（7分）
（2）f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，…（9分）
由題可知，在區間[

1

2

，2]上存在子區間使不等式2x²-2ax+1＞0成立使成立
又x＞0，∴2a＜2x+

1

x

在[

1

2

，2]上有解…（11分）
令g(x)=2x+

1

x

，則只需2a小于g（x）在[

1

2

，2]上的最大值
由g′(x)=2-

1

x2

＞0知x＞

2

2

，
∴g（x）在[

2

2

，2]上單調遞增，在[

1

2

，

2

2

]上單調遞減，…（13分）
∴g(x)max=max{g(2)，g(

1

2

)}
又g(2)=

9

2

，g(

1

2

)=3，
故2a＜

9

2

，即a＜

9

4

…（15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分離參數法的運用，區分有解與恒成立問題是關鍵．