Question

已知函數f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（II）設函數g(x)=f(

x

2

)+2，求g（x）在區間[0，π]上的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數f（x）化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后利用復合函數單調性結合正弦函數圖象求函數的單調區間
（II）先求函數g（x）的解析式，同樣化為y=Asin（ωx+φ）的形式，先求內層函數的值域，再結合正弦函數圖象求函數的值域即可

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin(2x-

π

6

)．
∴函數的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z．
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]k∈Z．
（II）∵g(x)=f(

1

2

x)+2=sin(x-

π

6

)+2
而0≤x≤π，所以-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

．
∴當x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，
g（x）取得最小值-

1

2

+2=

3

2

．
∴g（x）在區間[0，π]上的最小值為

3

2

，取得最小值時x的值為0

點評：本題考查了二倍角公式的運用，兩角差的正弦公式及其應用，三角函數的圖象和性質，復合函數的單調性和值域