【題目】已知函數
，
.
（1）當
時，解不等式
；
（2）若關于
的方程
在區間
上有兩個不等的實根，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，解集為
；當
時，解集為
；當
時，解集為
；（2）
【解析】
（1）把
作為整體，分解因式
，然后根據
和1的大小分類討論可得，同時注意指數函數性質；
（2）求出
，把
作為一個整體解得
或
，有且僅有一根
，這樣方程在區間
上只有一個非零解．設
，問題轉化為方程
在
上只有一解，由二次方程根的分布知識可解，注意要分類討論．
解：（1）
當
，即時
式化簡為
，此時不等式解集為.
當
，即
式化簡為
，此時不等式解集為空集.
當
，即時
式化簡為
，此時不等式解集為
綜上：當時，不等式解集為
當時，不等式解集為
當時，不等式解集
（2）
在區間上有兩個不等的實根
在區間上有兩個不等的實根.
方程化簡為
即
或
解得
是原方程其中一解
由題意得方程在區間上只有一個非零解
令，
即方程在上只有一解
①當
時，
，代入方程得到
（舍去）
②當
時，設
令
，得
.
③時，設方程的兩個根為
，
則
當
時，
符合題意，此時
當
時，
不符合題意，故舍去
綜上：實數
的取值范圍為.
學練快車道快樂假期寒假作業系列答案
新思維寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在數列
中，已知
，對于任意的
，有
.
（1）求數列的通項公式.
（2）若數列
滿足
，求數列的通項公式.
（3）設
，是否存在實數
，當
時，
恒成立？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓心C在直線
上的圓過兩點
，
.
（1）求圓C的方程；
（2）若直線
與圓C相交于A，B兩點，①當
時，求AB的方程；②在y軸上是否存在定點M，使
，若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓
．
（1）若橢圓
，判斷
與
是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓相似且焦點在
軸上、短半軸長為
的橢圓
的標準方程；若在橢圓上存在兩點
、
關于直線
對稱，求實數的取值范圍；
（3）如圖：直線
與兩個“相似橢圓”
和
分別交于點
和點
，試在橢圓和橢圓
上分別作出點
和點
（非橢圓頂點），使
和
組成以
為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學在高二下學期開設四門數學選修課，分別為《數學史選講》.《球面上的幾何》.《對稱與群》.《矩陣與變換》．現有甲.乙.丙.丁四位同學從這四門選修課程中選修一門，且這四位同學選修的課程互不相同，下面關于他們選課的一些信息：①甲同學和丙同學均不選《球面上的幾何》，也不選《對稱與群》：②乙同學不選《對稱與群》，也不選《數學史選講》：③如果甲同學不選《數學史選講》，那么丁同學就不選《對稱與群》．若這些信息都是正確的，則丙同學選修的課程是（ ）
A. 《數學史選講》B. 《球面上的幾何》C. 《對稱與群》D. 《矩陣與變換》
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓錐的頂點為
，底面圓心為
，母線長為
，
，
、
是底面半徑，且：
，
為線段
的中點，
為線段
的中點，如圖所示：
（1）求圓錐的表面積；
（2）求異面直線
和所成的角的大小，并求
、兩點在圓錐側面上的最短距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}的首項
， 
， 
．
(1)求證：數列
為等比數列；
(2)記
，若Sn<100，求最大正整數n；
(3)是否存在互不相等的正整數m，s，n，使m，s，n成等差數列，且am－1，as－1，an－1成等比數列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將函數
的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的
倍（橫坐標不變），再向左平移
個單位長度，得到函數
的圖象，設函數
.
（1）對函數
的解析式；
（2）若對任意
，不等式
恒成立，求
的最小值；
（3）若
在
內有兩個不同的解
，
，求
的值（用含
的式子表示）.
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