Question

17．給出下列三個命題：
①函數y=tanx在第一象限是增函數
②奇函數的圖象一定過原點
③函數y=sin2x+cos2x的最小正周期為π
④函數y=x+$\frac{2}{x}$的最小值為2$\sqrt{2}$
其中 假命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①根據正切函數的性質進行判斷，
②根據奇函數的性質，舉反例即可，
③根據三角函數的周期公式進行求解判斷，
④根據基本不等式的性質進行判斷．

解答 解：①函數y=tanx在第一象限不具備單調性，故①錯誤，
②奇函數的圖象一定過原點，錯誤，比如函數f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函數，但不過原點，故②錯誤，
③函數y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），則函數的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，故③正確，
④當x＞0時，函數y=x+$\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，當x＜0時，y=x+$\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{2}{-x}}$=-2$\sqrt{2}$，故④錯誤，
故假命題是①②④，
故答案為：①②④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數的性質，三角函數的周期性以及基本不等式的應用，涉及的知識點較多，但難度不大．