Question

若P，Q是等腰直角三角形ABC斜邊AB的三等分點，則tan∠PCQ=

 

．

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，使問題直觀一些；再把∠PCQ用∠ACQ與∠ACP的差來表示，因為∠ACQ與∠ACP的正切易于在直角三角形中求得；最后由正切的差角公式代入求之．

解答：解：由題意畫圖如下．
作PD⊥AC、QE⊥AC，則PD∥QE∥BC，所以點D、E是邊AC的三等分點．
設α=∠PCQ，β=∠ACQ，γ=∠ACP，則α=β-γ．并設AC=BC=3a，則PD=a，QE=2a．
∴tanβ=

QE

CE

=

2a

a

=2，tanγ=

PD

CD

=

a

2a

=

1

2

∴tanα=tan（β-γ）=

tanβ-tanγ

1+tanβ•tanγ

=

2- 1 2

1+2× 1 2

=

3

4

．
故答案為

3

4

．

點評：本題直接求∠PCQ的正切值比較困難，而采取了把∠PCQ轉化為∠ACQ-∠ACP再求之，則問題解決．這種轉化的思想在數學中無處不在，核心是把陌生問題轉化為相對熟悉的問題．