Question

14．已知函數f（x）=|x+a|+|x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（1）解不等式|g（x）|＜3；
（2）若對任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由||x-1|+2|＜3，得3＜|x-1|+2＜3，即-5＜|x-1|＜1，然后求解不等式即可．
（2）利用條件說明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通過函數的最值，列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由||x-1|+2|＜3，得-3＜|x-1|+2＜3，即-5＜|x-1|＜1，…（2分）
所以解集為{x|或0＜x＜2} …（5分）
（2）因為任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|x+a|+|x+3|≥|（x+a）-（x+3）|=|a-3|，
所以|a-3|≥2，解得a≥5或a≤1．…（10分）

點評 本題考查函數的恒成立，絕對值不等式的解法，考查分析問題解決問題的能力以及轉化思想的應用．