Question

理科已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個(gè)結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當(dāng)，時(shí)，對任意大于，且互不相等的實(shí)數(shù),都有

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）m=-1；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式；（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時(shí).

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

函數(shù)在處取得極大值，故.  3分

（Ⅱ）令，  4分

則.函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得.又

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，；

故對任意，都有.  8分

（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)時(shí)，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.  9分

②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)時(shí)，

. 當(dāng)時(shí)，設(shè)正數(shù)滿足令，

 

則，且.

   13分

當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.

綜上由①②，對任意，，結(jié)論恒成立.  14分

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：近幾年新課標(biāo)高考對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合.