Question

【題目】如圖，點在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） .

【解析】試題分析：（1）延長交于點，由重心性質及中位線性質可得，再結合圓的性質得，由已知，可證 平面，進一步可得平面平面（2）以點為原點， ， ， 方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用二面角與二個半平面的法向量的夾角間的關系可求二面角的余弦值．

試題解析：（1）如圖，延長交于點.因為為的重心，所以為的中點.

因為為的中點，所以.因為是圓的直徑，所以，所以.

因為平面， 平面，所以.又平面， 平面= ，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.

（2）以點為原點， ， ， 方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ，則， .平面即為平面，設平面的一個法向量為，則令，得.過點作于點，由平面，易得，又，所以平面，即為平面的一個法向量.

在中，由，得，則， .

所以， .所以.

設二面角的大小為，則 .