Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，焦距為4，離心率為

2

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓在y軸的正半軸上的焦點為M，又點A和B在橢圓上，且M分有向線段

.

AB

所成的比為2，求線段AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程，由焦距為4，離心率為

2

3

，結合b²=a²-c²，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）先考慮A點在B點的左方，利用M分有向線段

AB

所成的比為2，結合橢圓的定義，即可求得A，B的坐標，從而可得直線AB的斜率，進而可得AB的方程；點在B的右方時根據對稱性，可得所求直線AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（b＞a＞0）（1分） 
由焦距為4，可得2c=4，∴c=2，
又

c

a

=

2

3

，故a=3（2分）
∴b²=a²-c²=5，
∴所求橢圓方程為

x2

5

+

y2

9

=1（3分）
（Ⅱ）M坐標為（0，2），設A點在B點的左方，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AM

MB

=2，故有2=

y1+2y2

1+2

（5分）即y₁+2y₂=6，
又M相應的準線方程是y=

a2

c

=

9

2

，A到準線距離d1=

9

2

-y1，B到準線距離d2=

9

2

-y2（6分），
∵

|AM|

d1

=e=

2

3

，

|BM|

d2

=

2

3

（7分）
∴|AM|=

2

3

(

9

2

-y1)， |BM|=

2

3

(

9

2

-y2)，
∴

|AM|

|BM|

=

3- 2 3 y1

3- 2 3 y2

=2得4y₂-2y₁=9②
②與①聯立解得y1=

3

4

，代入橢圓方程得x1=

5 3

4

，
∴直線AB的斜率k=

3 4 -2

5 3 4 -0

=

3

3

（9分），
∴AB的方程為y=

3

3

x+2（10分），
如果點在B的右方時根據對稱性，則所求直線AB的方程為y=-

3

3

x+2．（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，確定A，B的坐標是關鍵．