Question

如圖所示，角A為鈍角，且，點P，Q分別在角A的兩邊上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的長；
（2）設∠APQ=α，∠AQP=β，且，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用余弦定理列出關系式，將cosA，AP與AQ的值代入計算即可求出PQ的長；
（2）由cosα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，利用三角形的內角和定理及誘導公式變形求出sin（α+β）與cos（α+β）的值，將所求式子變形后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值．
解答：解：（1）∵A是鈍角，cosA=-，AP=5，AQ=2，
在△APQ中，由余弦定理得PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcosA，
∴PQ²=5²+2²-2×5×2×（-）=45，
∴PQ=3；
（2）∵α為三角形的角，cosα=，
∴sinα==，
又sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=，cos（α+β）=cos（π-A）=-cosA=，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=×+×=．
點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．